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CHAPITRE XX.

Si nous posons

(5)

$\mathrm {S} =\mathrm {V} {\sqrt {\mu }}+\mathrm {T} -{\sqrt {\mu }}\,\left({\textstyle \sum }\,z_{k}x_{k}'+u_{1}v_{1}\right),$

il viendra, par un calcul facile,

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,w_{i}\,d\lambda _{i},$

de sorte que, si nous exprimons $S$ en fonction des $y_{i}$ et des $\lambda _{i},$ nous aurons

(6)

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}{\sqrt {\mu }}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Ces changements continuels de variables pouvant engendrer quelque confusion, j’insiste un peu :

$\mathrm {V}$ est exprimé en fonction de $v_{1},$ $z_{k},$ $\lambda _{i}.$

$\mathrm {T}$ est exprimé en fonction de $u_{1},$ $x_{k}',$ $y_{i}.$

$\mathrm {S}$ est exprimé en fonction de $\lambda _{i}$ et $y_{i}.$

Nous avons donc $6n$ variables, à savoir

$x_{i},\quad y_{i},\quad u_{1},\quad v_{1},\quad x_{k}',\quad z_{k},\quad \lambda _{i},\quad w_{i}.$

Mais ces variables étant liées par les $4n$ relations

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{i}}},&{\sqrt {\mu }}\,z_{k}&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{k}'}},&{\sqrt {\mu }}\,v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{du_{1}}},\\[0.75ex]u_{1}&={\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},&x_{k}'&={\frac {d\mathrm {V} }{dz_{k}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda _{i}}},\end{aligned}}$

il n’y a en réalité que $2n$ variables indépendantes, ce qui nous permet d’exprimer chacune de nos fonctions $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {T}$ par le moyen de $2n$ variables convenablement choisies.

La fonction $\mathrm {V}$ jouit de la propriété caractéristique suivante :

Quand l’un des $z_{k}$ augmente de $2\pi ,$ les autres variables $v_{1},$ $z$ et $\lambda$ ne changent pas, $\mathrm {V}$ augmente de $2\pi \lambda _{k}.$

Nous savons en effet que les dérivées de $\mathrm {V}$ par rapport à $v_{1}$ et aux $z_{k}$ sont périodiques par rapport à ces variables.

Or quand $z_{k}$ se change ainsi en $z_{k}+2\pi ,$ les autres $z,$ $v_{1}$ et $\lambda$ ne changent pas ; qu’arrive-t-il ?

Les dérivées de $\mathrm {V}$ étant périodiques, ainsi que je viens de le dire, $u_{1}$ et les $x_{k}'$ ne changeront pas.