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CHAPITRE XX.

sorte que les $x_{i}$ et les $y_{i}-w_{i}$ seront des fonctions périodiques des $w_{i}.$

Nous avons vu que les $w$ doivent être des fonctions linéaires du temps de sorte que

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

les $\varpi _{i}$ étant des constantes d’intégration arbitraires.

Il nous reste à déterminer les $n_{i}.$

Pour cela reprenons l’équation (2) de la page 343 ; le second membre $\mathrm {C}$ est égal à

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\mathrm {C} _{4}\,\mu ^{2}+\ldots .$

$\mathrm {C} _{0}$ est une fonction des $x_{k}^{0}\,;$ $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ sont des fonctions de $C_{2}$ et des $x_{k}^{0}$ que nous avons choisies arbitrairement, mais une fois pour toutes.

Il en résulte que $\mathrm {C}$ est une fonction de nos constantes $\mathrm {C} _{2}$ et $x_{k}^{0}.$

Maintenant la méthode de Jacobi nous apprend que l’on a

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\theta _{1}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\mathrm {C} _{2}}},\\n_{k}+\theta _{k}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Comme les $\theta$ et $\mathrm {C}$ sont donnés en fonctions de $\mathrm {C} _{2}$ et des $x_{k}^{0},$ ces équations nous donneront les $n_{i}$ en fonctions de ces mêmes variables.

J’observe d’abord que $\mathrm {C}$ et les $\theta$ étant développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ il doit en être de même des $n_{i}.$

Le premier terme du développement de $\theta _{1}$ est $\gamma {\sqrt {\mu }}\,;$ le premier terme du développement de ${\frac {d\mathrm {C} }{d\mathrm {C} _{2}}}$ est $\mu \,;$ le premier terme du développement de $n_{1}$ sera

${\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma }},$

de sorte que $n_{1}$ s’annule pour $\mu =0,$ comme on devait s’y attendre ; au contraire, pour $\mu =0,$ la seconde équation (3) nous donne

$n_{k}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}=n_{k}^{0}.$

Le premier terme du développement de $n_{k}$ est donc $n_{k}^{0}.$