Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/41

27

MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

Une deuxième remarque :

Posons

${\begin{alignedat}{4}v_{i}&+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\varphi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\psi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}$

Les fonctions $\varphi _{i},\,\psi _{i},$ $\varphi _{i}'$ et $\psi _{i}'$ sont des fonctions périodiques des $w\,;$ je vais considérer les valeurs moyennes de ces fonctions périodiques et je les appellerai respectivement

$\varphi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \varphi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu )$

Cela posé, voici ce que je me propose de démontrer :

Soient $\theta _{i}$ et $\eta _{i}$ $(i=1,\,2,\,\dots ,n)$ $2n$ fonctions tout à fait arbitraires de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0}$ et $\mu ,$ assujetties seulement à être développables suivant les puissances de $\mu .$

Je dis qu’on pourra toujours, quelles que soient ces fonctions $\theta _{i}$ et $\eta _{i},$ choisir les fonctions $v_{i}$ et $\omega _{i}$ de telle façon que

${\begin{aligned}\varphi _{i}'^{0}&=\theta _{i},&\psi _{i}'^{0}&=\eta _{i}.\end{aligned}}$

En effet, il suffit pour cela de définir les $v_{i}$ et les $\omega _{i}$ par les équations suivantes

${\begin{alignedat}{3}v_{i}&+\varphi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\theta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\eta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}$

Or on peut toujours tirer de ces équations les $v_{i}$ et les $\omega _{i}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients sont des fonctions de $x_{k}^{0}.$

Si nous écrivons les séries (2 quater) sous la forme suivante

${\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}$

les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w.$ D’après la remarque qui précède, on peut toujours s’arranger de telle façon que les valeurs moyennes de ces fonctions périodiques $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ soient telles fonctions que l’on veut de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0}.$