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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

dire que les différences

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}-x_{i}^{0}\quad (i>1),$

et par conséquent la différence

$\varphi \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}\right)-\varphi (x_{i}^{0}),$

sont divisibles par $\mu .$ Je puis donc poser

$\varphi \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{3}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}}\right)-\varphi \left(x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}\right)=\mu \,\mathrm {H} ,$

d’où

(4)

$x_{1}'={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mathrm {H} \,{\sqrt {\mu }}+{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}\,{\sqrt {\mu }}+{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}\,\mu +\ldots .$

Adjoignons à cette équation (4) les $n-1$ dernières équations (2). Nous aurons ainsi un système de $n$ équations dont les deux membres seront développables suivant les puissances de

${\begin{array}{rrrrrr}{\sqrt {\mu }},&x_{1}',&x_{2}-\lambda _{2},&\ldots ,&x_{n}-\lambda _{n},\\&&x_{2}^{0}-\lambda _{2},&\ldots ,&x_{n}^{0}-\lambda _{n},&\mathrm {C} _{2}-\gamma \end{array}}$

et suivant les sinus et cosinus des multiples des $y_{i}.$

Pour $\mu =0,$ ce système se réduit à

${\begin{aligned}x_{1}'&={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},&x_{i}&=x_{i}^{0}.\end{aligned}}$

Il faut donc démontrer que, pour

${\begin{aligned}x_{1}'&=0,&x_{i}&=x_{i}^{0}=\lambda _{i},\end{aligned}}$

le déterminant fonctionnel des $x_{i}^{0}-x_{i}$ et de ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}-x_{1}'$ par rapport aux $x_{i}^{0}$ et à $\mathrm {C} _{2}$ ne s’annule pas. Or ce déterminant se réduit à la dérivée de ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ par rapport à $\mathrm {C} _{2}$ ou, si

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}=\mathrm {A} \,{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}},$

à

${\frac {\mathrm {A} }{2{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}}}\cdot$