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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

n^o 204, ou mieux encore nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que toutes ces quantités $\alpha _{i}$ et $\alpha _{i}^{p}$ sont nulles.

Les constantes $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ sont liées par certaines relations aux arbitraires $\alpha _{i}$ et $\alpha _{i}^{p}.$ Si l’on suppose donc que les $\alpha _{i}$ et les $\alpha _{i}^{p}$ sont nulles, $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ deviennent des fonctions entièrement déterminées des $x_{i}^{0}$ et de $\mathrm {C} _{2}.$

Il nous reste donc en tout $n$ arbitraires

$x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},$et$\mathrm {C} _{2},$

puisque $x_{1}^{0}$ est lié aux autres $x_{i}^{0}$ par une relation.

Considérons maintenant les relations

(2)

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},&x_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},&&\ldots ,&x_{n}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}}\cdot \end{aligned}}$

Les seconds membres sont des fonctions de

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n},\quad x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},\quad \mathrm {C} _{2}.$

Résolvons alors les équations (2) par rapport à

$x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},\quad \mathrm {C} _{2},$

il viendra

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}^{0}&=\psi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\quad (i=2,\,3,\,\ldots n),\\\mathrm {C} _{2}&=\theta (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}).\end{aligned}}\right.$

Si les séries $\mathrm {S}$ étaient convergentes, les $\psi _{i}$ et $\theta$ seraient des intégrales des équations différentielles.

Voyons quelle en serait la forme.

Plaçons-nous d’abord dans le cas du n^o 204 et supposons par conséquent que $\mathrm {C} _{2}$ soit plus grand que le maximum de ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}\,;$ Il en résulte que

${\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}},\quad {\frac {1}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}},$

seront des fonctions holomorphes de $\mathrm {C} _{2},$ $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n},$ pour toutes les valeurs réelles des $y_{i}$ et pour les valeurs de $\mathrm {C} _{2}$ voisines de celle que l’on considère.

Nous avons supposé dans ce qui précède que $\mathrm {F}$ est une fonction holomorphe des $x_{i}$ et des $y_{i}$ pour toutes les valeurs réelles des $y_{i}$ et pour les valeurs des $x_{i}$ voisines des $x_{i}^{0}.$