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CHAPITRE IX.

ne soit la différentielle exacte d’une fonction de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ qui n’est autre alors que la fonction $\mathrm {R}$ que nous avons considérée un peu plus haut.

3^o Dans les séries (2) changeons

$x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0},$

en

$x_{1}^{0}+\mu v_{1},\quad x_{2}^{0}+\mu v_{2},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0}+\mu v_{n}\,;$

$v_{1},\,v_{2},\,\dots ,\,v_{n}$ étant des fonctions de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ et $\mu$ développables suivant les puissances de $\mu .$

Si les $x_{i}^{0}$ sont regardées comme des constantes, les $v_{i}$ seront également des constantes.

Si l’on altère de la sorte la valeur des constantes d’intégration, les séries (2) conserveront la même forme et elles ne cesseront pas de satisfaire formellement aux équations (1).

En résumé, écrivons les séries (2) sous la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \varphi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \psi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\end{alignedat}}\right.$

en mettant ainsi en évidence que $x_{i}-x_{i}^{0}$ et $y_{i}-w_{i}$ dépendent non seulement des $w_{k}$ et de $\mu$ mais des $x_{k}^{0}.$

Soient ensuite

$\omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n};\quad v_{1},\quad v_{2},\quad \dots ,\quad v_{n}$

$2n$ fonctions des $x_{i}^{0}$ et de $\mu$ développables suivant les puissances de $\mu .$

Formons les séries

(2 quater)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu [v_{i}&{}+{}&\varphi _{i}&(&w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )],\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu [\omega _{i}&{}+{}&\psi _{i}&(&w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )];\end{alignedat}}\right.$

ces séries satisferont formellement aux équations (1) quelles que soient les fonctions $\omega _{i}$ et $v_{i}.$

De plus les fonctions

$\varphi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu )\quad$ et $\quad \psi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),$

étant périodiques par rapport aux $w,$ il en sera de même des fonctions

$v_{i}+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )\quad \mathrm {et} \quad \omega _{i}+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu ).$