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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

par récurrence les fonctions $\mathrm {S} _{p}$ et elles nous montrent tout d’abord que les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ seront des fonctions périodiques des $y,$ la période étant $2\pi$ par rapport à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ et $4\pi$ par rapport à $y_{1}.$

Si les constantes $\mathrm {C} _{p}$ sont nulles, pour un indice $p$ impair, ce que j’ai d’ailleurs supposé en écrivant les équations (3), ces équations (3) ne changeront pas quand on changera $y_{1}$ en $y_{1}+2\pi ,$ ni quand on changera ${\sqrt {\mu }}$ en $-{\sqrt {\mu }}.$

On en déduirait, par un raisonnement tout pareil à celui que j’ai fait au n^o 200, que ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ se change en

$(-1)^{p}{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}},$

quand $y_{1}$ se change en $y_{1}+2\pi .$

Donc ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ est une fonction périodique de période $2\pi$ par rapport à $y_{1}$ si $p$ est pair.

Si $p$ est impair, cette fonction change de signe quand $y_{1}$ augmente de $2\pi .$

Maintenant voici la question qui se pose :

Les fonctions ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ sont-elles finies ?

Nous avons pour déterminer ${\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}$ l’équation (15)

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}\,{\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{1}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}={\big [}\Phi {\big ]},$

et plus généralement pour déterminer ${\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]}$

(27)

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}\,{\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}={\big [}\Phi {\big ]}+\mathrm {C} _{p+1},$

$\mathrm {C} _{p+1}$ étant nul quand $p+1$ est impair.

La fonction ${\big [}\Phi {\big ]}$ du second membre de (27) dépendant seulement de $y_{1},$ je la poserai égale à $\varphi _{p+1}(y_{1}).$

On verrait aisément par récurrence que

$\varphi _{p+1}(y_{1}+2\pi )=(-1)^{p+1}\varphi _{p+1}(y_{1}).$

Il pourrait arriver que ${\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}$ devînt infini ; car ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ peut s’an-