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CHAPITRE XIX.
façon que les valeurs moyennes des deux membres de la troisième
équation (3) soient égales. Il doit donc en être de même
des deux membres de l’équation (11), qui ne diffère de la troisième
équation (3) que parce que certains termes ont passé d 'un
membre dans l’autre.
Or
![{\displaystyle \left[{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4efb04fc80cf599a257c5b36ae822384c182e6)
puisque
Donc
![{\displaystyle {\big [}\Phi {\big ]}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87869a47b1298574f0e5cdd9c32ddb9b3d5a69f0)
C.Q.F.D.
Pour achever de connaître 
il reste à déterminer la fonction
arbitraire
![{\displaystyle \psi ={\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b2cec7263208ae4ba1a7033f59c3b2f42d320f)
À cet effet, égalons les valeurs moyennes des deux membres de
la quatrième équation (3). Il vient, en vertu des relations (10),
![{\displaystyle \left[{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e53881e38a2320585ae2727f892cfb0f743cdb)
et de plus
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{k}}}\right]={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1bf81a6e6dca601e3cfb08c75ecf9627869504)
puisque 
ne dépend que de 
Nous
obtenons donc
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{k}}}={\big [}\Phi {\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdfc1f024ba707ecf32bd06157c34b69de9fb0a)
Si nous désignons par ![{\displaystyle {\big [}\mathrm {S} _{2}'{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e12da9bdb09aae326caf4b146cd650a67f0deee)
la dérivée de ![{\displaystyle {\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea16fafb3b538c02f32241b129b7985f0bfe4da0)
par rapport à
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}&=m_{i}f',{\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{k}}}&=m_{k}{\big [}\mathrm {S} _{2}'{\big ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02fcf9b7ed06d0af8d5d3f08233433cfbff3338)
et nous pourrons écrire
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}m_{i}m_{k}{\big [}\mathrm {S} _{2}'{\big ]}={\frac {{\big [}\Phi {\big ]}}{f'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad421e51f70660405b50237aa4532a685f08d5ac)
Comme 
ne s’annule pas, est une fonction périodique de
