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CHAPITRE IX.

Il vient alors

{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}&=\mu ^{p+1}{\frac {d\Phi _{p}}{dw_{i}}},&{\frac {dw_{i}}{dt}}&=\nu _{i}^{p}-\mu ^{p+1}{\frac {d\Phi _{p}}{dx_{i}^{0}}}\,;\end{aligned}}

si l’on néglige les quantités de l’ordre de $\mu ^{p+1},$ on tirera de ces équations

{\begin{aligned}x_{i}^{0}&=\mathrm {const.} ,&w_{i}&=\nu _{i}^{p}t+\mathrm {const.} \end{aligned}}

On peut exprimer ce résultat en disant que le théorème de Jacobi du n^o 3 est applicable au calcul formel, en employant le langage du Chapitre VIII.

Posons

{\begin{aligned}n_{i}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu {\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu ^{2}{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\ldots \;ad\;inf.\end{aligned}}

Nous avons là une série ordonnée suivant les puissances de $\mu ,$ qui peut être divergente ; mais peu nous importe, puisque nous nous plaçons au point de vue du Chapitre précédent, c’est-à-dire au point de vue formel.

Posons ensuite

w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},

les $\varpi _{i}$ étant regardées comme des constantes d’intégration. Envisageons ensuite les équations

(8)

{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}=x_{i},\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}=w_{i}.

De ces équations (8), on peut tirer les $x_{i}$ et les $y_{i}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients sont des fonctions des $x_{i}^{0}$ et des $w_{i}$ Ces séries peuvent d’ailleurs être convergentes ou divergentes, peu importe.

Si dans ces séries on remplace les $w_{i}$ par $n_{i}t+\varpi _{i}$ et si l’on regarde les $x_{i}^{0}$ comme des constantes, elles satisferont formellement aux équations (1).

Soient

(2)

\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{n}x_{i}^{n}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{n}y_{i}^{n}&{}+{}&\ldots \end{alignedat}}\right.