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CHAPITRE XIX.
en égalant le second membre de (2) à
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}\mu +\mathrm {C} _{2}\mu ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025dfd8a3bcebe58d13356a0179c97545c97b25d)
Si
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}\gtrless 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e499b19d9833320999b73f39e14c9efa200b5b27)
est développable suivant les puissances de
et si, au contraire,
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6c3e8d04cca106f3895459d1f4500e8620b90d)
est développable suivant les puissances de ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Supposons en particulier que, donnant à
des
valeurs quelconques, on choisisse les constantes
de telle façon que
![{\displaystyle \mathrm {S} -n_{1}^{0}y_{1}-n_{2}^{0}y_{2}-\ldots -n_{n}^{0}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacfa93d7112b6478ddb974727e631bf3d74fa86)
soit une fonction périodique des
on retombera sur un développement
qui correspondra à celui que nous avons au début du
numéro précédent déduit des équations (1) de ce numéro.
Dans ce développement, diverses puissances de
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02c64ba04c39ecf6acfa9ef33fcae1ec86ebc71)
entreront au dénominateur.
Remplaçons ensuite les constantes d’intégration
par divers
développements procédant suivant les puissances de
Soit, par exemple,
![{\displaystyle n_{i}^{0}=\alpha _{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\alpha _{i}^{1}+\mu \,\alpha _{i}^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2916e310ccf008d0cf6ca5f14c53273309433773)
Je suppose que
![{\displaystyle m_{1}\alpha _{1}^{0}+m_{2}\alpha _{2}^{0}+\ldots +m_{n}\alpha _{n}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b01fcff9af16df4e120936ace0228c53e061d5)
Il en résultera que le développement de
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ff9e6966b49596366dcda5c18ce13aa6cb6e1a)
commencera par un terme en ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Si nous ordonnons ensuite les termes de
suivant les puissances
positives et croissantes de
on obtiendra divers développements
analogues à ceux que nous avons étudiés en détail dans le no 201.