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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

sissant d’une manière quelconque, mais définitive, les $\alpha _{i,k}.$ Nous pourrions convenir, par exemple, de choisir les $\alpha _{i,k}.$ de façon que

$0=\mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{2}=\dots =\mathrm {C} _{p}=\dots ,$

mais je préfère prendre tous les $\alpha _{i,k}.$ nuls ; les constantes $\mathrm {C} _{1},$ $\mathrm {C} _{2},$ $\dots ,$ $\mathrm {C} _{p},\,\dots$ ne sont pas nulles alors ; en général, elles dépendent, ainsi que $\mathrm {C} _{0},$ de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0}.$

Cela posé, soit

$\Sigma _{p}=\mathrm {S} _{0}+\mu \mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}.$

Posons

(7)

${\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{i}}}=x_{i},\qquad {\frac {d\Sigma _{p}}{dx_{i}^{0}}}=w_{i}.$

Si nous changeons de variables, en prenant pour variables nouvelles les $x_{i}^{0}$ et les $w_{i},$ au lieu des $x_{i}$ et des $y_{i}$ [les nouvelles variables étant liées aux anciennes par les relations (7)], le théorème du n^o 4 nous apprend que les équations resteront canoniques et que nous aurons

${\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dw_{i}}},\qquad {\frac {dw_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\qquad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Voyons maintenant quelle sera la forme de $\mathrm {F} ,$ quand elle sera exprimée en fonction des nouvelles variables $x_{i}^{0}$ et $w_{i}.$ Par hypothèse, la série $\mathrm {S}$ satisfait formellement à l’équation (4) ; cela revient à dire que nous aurons

$\mathrm {F} (x_{i},y_{i})=\mathrm {F} \left({\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {C} _{p}+\mu ^{p+1}\Phi _{p},$

$\Phi _{p}$ étant une fonction des $x_{i}^{0},$ des $w_{i}$ et de $\mu$ susceptible d’être développée suivant les puissances de $\mu .$ Quant aux quantités $\mathrm {C} _{0},$ $\mathrm {C} _{1},$ $\dots ,$ $\mathrm {C} _{p},$ nous avons vu que ce sont des fonctions des $x_{i}^{0}.$

Nous poserons

$\nu _{i}^{p}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu \,{\frac {d\mathrm {C} _{1}}{dx_{i}^{0}}}-\mu ^{2}\,{\frac {d\mathrm {C} _{2}}{dx_{i}^{0}}}-\dots -\mu ^{p}\,{\frac {d\mathrm {C} _{p}}{dx_{i}^{0}}}\cdot$

Alors, pour $\mu =0,$ $\nu _{i}^{p}$ se réduit à $n^{0}.$