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CHAPITRE XIX.
et enfin celui de
par un terme en
![{\displaystyle \left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{3}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80eaffe3311a146462c67368d591b30d430abeb8)
La loi est manifeste ; le développement de
commence par
un terme en
![{\displaystyle \left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{2p-1}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a9dd4f5ea1987f0b6b3418ed1a9af4aea1bb53)
Et, en effet, supposons qu’elle soit vraie pour
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80bfc6850301ec50956138ff13df6b5402a1860)
je dis qu’elle est encore vraie pour ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc533e303eff941b74d3a9858d89df16cce5d2b)
Considérons l’équation
![{\displaystyle n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}=\Phi +\mathrm {C} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6567589aaa28f8ce50f220eb371eca083fb033e9)
est un polynôme entier en
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a099cd5f47e2f0b5edfcc09a4c829a57591a425)
Considérons un terme quelconque
de ce polynôme et cherchons
à évaluer la somme des indices
des divers facteurs de la
forme
qui entrent dans
Ce terme
provenant d’un terme en
dans le développement de
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7431301021b489113acbc7c1ed4fd63c0ae031)
cette somme est au plus égale à
De plus, si cette somme est
égale à
comme aucun des indices
n’est égal à
le terme
considéré
contiendra au moins deux facteurs.
Le développement de
suivant les puissances de
commencera
par un terme en
![{\displaystyle \left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{{\textstyle \sum }\,(2q-1)}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8609cc724a891479ef2688610e5c8a68780409d)
Or
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,q\leqq p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b84f3408d130d9dbdb7b5a474a5cfd02a3f14f)