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CHAPITRE XIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

En effet, supposons que cela soit vrai pour

${\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}'}{dy'}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}'}{dy'}}$

je dis que cela sera vrai également pour ${\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}}\cdot$

Considérons l’équation

$\mathrm {F} _{0}''\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}}=\Phi ,$

où $\mathrm {F} _{0}''$ désigne la dérivée seconde de $\mathrm {F} _{0}'.$ $\Phi$ est développé suivant les puissances de $y',$ de ${\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}},\,\ldots ,$ ${\frac {d\mathrm {S} _{p-1}'}{dy'}}\,;$ comme $y'=0$ est un zéro simple pour ces diverses quantités, et que le développement de $\Phi$ commence par des termes du second degré, $y'=0$ sera un zéro double pour $\Phi .$

Ce sera un zéro simple pour ${\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}}\cdot$

Ce sera donc un zéro simple pour ${\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}}\cdot$

C.Q.F.D.

Nous trouvons ainsi

$x'={\frac {d\mathrm {S} '}{dy'}},$

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}'+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}'+\mu \,\mathrm {S} _{2}'+\ldots ,\quad \mathrm {S} _{0}'=0.$

Nous en déduisons

(7)

$x_{1}=\alpha +{\frac {d\mathrm {S} '(y_{1}-\beta )}{dy_{1}}}\cdot$

$\mathrm {S} '(y_{1}-\beta )$ représente la fonction $\mathrm {S} ',$ où l’argument $y'$ a été remplacé par l’argument $y_{1}-\beta .$ Soient

${\begin{alignedat}{5}\alpha &=\alpha _{0}&{}+{}&\mu \,\alpha _{1}&{}+{}&\mu ^{2}\alpha _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\beta &=\beta _{0}&{}+{}&\mu \,\beta _{1}&{}+{}&\mu ^{2}\beta _{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}$

$x_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\ldots$