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CHAPITRE IX.

pourrai écrire

${\begin{aligned}\Phi _{p}=\mathrm {A} &+\textstyle \sum \mathrm {B} \cos(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\dots +m_{n}y_{n})\\&+\textstyle \sum \mathrm {C} \sin(m_{1}y_{1}+\dots +m_{n}y_{n}),\end{aligned}}$

les nombres $m_{1},\,m_{2},\,\dots ,\,m_{n}$ étant des entiers pendant que les $\mathrm {A} ,$ les $\mathrm {B}$ et les $\mathrm {C}$ sont des coefficients constants indépendants des $y.$

On peut faire alors

${\begin{aligned}\mathrm {S} _{p}={}&\alpha _{p,1}y_{1}+\alpha _{p,2}y_{2}+\dots +\alpha _{p,n}y_{n}\\&+\sum {\frac {\mathrm {B} \sin(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\dots +m_{n}y_{n})}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\dots +m_{n}n_{n}^{0}}}\\&+\sum {\frac {\mathrm {C} \cos(m_{1}y_{1}+\dots +m_{n}y_{n})}{m_{1}n_{1}^{0}+\dots +m_{n}n_{n}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Les $\alpha _{p,i}$ sont des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement puisqu’elles sont assujetties seulement à la condition

$\alpha _{p,1}n_{1}^{0}+\alpha _{p,2}n_{2}^{0}+\dots +\alpha _{p,n}n_{n}^{0}=\mathrm {A} +\mathrm {C} _{p}$

et que la constante $\mathrm {C} _{p}$ est arbitraire.

Cette méthode ne serait en défaut que s’il existait des entiers $m_{1},$ $m_{2},$ $\dots ,$ $m_{n},$ tels que

$\textstyle \sum m_{i}n_{i}^{0}=0.$

Nous supposerons qu’il n’en est pas ainsi.

Il est à remarquer que les fonctions $\mathrm {S} _{p}$ ainsi définies contiennent des constantes arbitraires ; elles dépendent d’abord de

$x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0},$

puis de

$\alpha _{1,1},\quad \alpha _{1,2},\quad \dots ,\quad \alpha _{1,n},$

puis de

${\begin{array}{rrrr}\alpha _{2,1},&\alpha _{2,2},&\dots ,&\alpha _{2,n},\\\dots ,&\dots ,&\dots ,&\dots ,\end{array}}$

puis de

${\begin{array}{rrrr}\alpha _{p,1},&\alpha _{p,2},&\dots ,&\alpha _{p,n},\\\dots ,&\dots ,&\dots ,&\dots ,\end{array}}$

Nous ne voulons conserver que $n$ constantes arbitraires ; nous continuerons donc à considérer les $x_{i}^{0}$ comme arbitraires, en choi-