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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

suivant les puissances de $\mu ,$ les coefficients étant des fonctions de $y_{1}.$

Si, au contraire,

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}'(x_{1}^{0})&=0,&\mathrm {F} _{0}''(x_{1}^{0})&\gtrless 0,\end{aligned}}$

on aura encore $x_{1}$ sous la forme d’une série, mais cette série sera développée non pas suivant les puissances de $\mu ,$ mais suivant celles de ${\sqrt {\mu }}.$

Examinons successivement ces deux cas.

Soit d’abord $\mathrm {F} _{0}'(x_{1}^{0})\gtrless 0.$

Nous poserons alors, puisque $x_{1}$ et par conséquent $\mathrm {S}$ sont développables suivant les puissances de $\mu$

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \,\mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots$

et nous supposerons d’ailleurs que ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}$ se réduit à la constante $x_{1}^{0}\,;$ on calculera ensuite, par récurrence, les autres fonctions $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},\,\ldots$ et le calcul sera de tout point pareil à celui du n^o 125.

Passons à la seconde hypothèse où $\mathrm {F} _{0}'(x_{1}^{0})=0.$

Alors $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et je puis écrire

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}+\mu \,\mathrm {S} _{2}+\ldots .$

Je suppose toujours

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&\mathrm {S} _{0}&=x_{1}^{0}y_{1}.\end{aligned}}$

J’ai alors

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)=\mathrm {F} _{0}&+{\frac {\mathrm {F} _{0}''}{2}}\left({\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots \right)^{2}\\&+{\frac {\mathrm {F} _{0}'''}{2}}\left({\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\ldots \right)^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

Dans le second membre je suppose que dans $\mathrm {F} _{0},$ $\mathrm {F} _{0}'',$ $\mathrm {F} _{0}''',\,\ldots$ on a remplacé $x_{1}$ par $x_{1}^{0}.$

Posons de même

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\ldots ,$