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CHAPITRE XIX.
Il vient alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}={\sqrt {\mu }}{\sqrt {1-\cos y_{1}}}={\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\sin {\frac {y_{1}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407f94fc74be024a0a99f1bfa72d851040eea172)
ou
![{\displaystyle \mathrm {S} =-{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y_{1}}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024faf166ddf1ab6171135f690cad4d27ef5984e)
est exprimée en fonction de
et c’est encore une fonction
périodique de
mais la période n’est plus
mais ![{\displaystyle 4\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e68e161d697344939ec2ce1676fc1f3b873804b)
J’ajoute que si
le radical est toujours imaginaire et
que, si
il ne cesse de l’être que pour
On peut
éclaircir ce qui précède de deux manières :
1o D’abord par la considération des fonctions elliptiques.
Nous voyons en effet que
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}\,dy_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ebb40e6ce09b1fddef4b81979250991e85629c)
est une intégrale elliptique et que si nous posons
![{\displaystyle u=\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8b95fa731acc384e69711810501afd017a2dba)
les expressions
![{\displaystyle \sin y_{1},\quad \cos y_{1},\quad {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb3b67d880dc9955beaa170c0021b36ab53ea9f)
seront des fonctions doublement périodiques de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Les divers cas que nous avons examinés plus haut correspondent
alors aux diverses hypothèses que l’on peut faire au sujet du
discriminant des fonctions elliptiques.
2o Par la Géométrie.
Nous pouvons construire en effet des courbes en adoptant les
coordonnées polaires et en prenant pour rayon vecteur
étant une constante quelconque et pour angle polaire
Nous
obtenons ainsi une figure telle que celle-ci.
Les courbes en trait plein correspondent à l’hypothèse
la courbe en trait pointillé à l’hypothèse
![{\displaystyle -|\mu |<\mathrm {C} <|\mu |,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37acdb76c7c26f7d58af154099f841c46798d3a5)
la courbe en trait mixte — . — . qui a un point double en
au