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CHAPITRE XIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Il vient alors

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}={\sqrt {\mu }}{\sqrt {1-\cos y_{1}}}={\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\sin {\frac {y_{1}}{2}}$

ou

$\mathrm {S} =-{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y_{1}}{2}}\cdot$

$\mathrm {S}$ est exprimée en fonction de $y_{1},$ et c’est encore une fonction périodique de $y_{1},$ mais la période n’est plus $2\pi ,$ mais $4\pi .$

J’ajoute que si $\mathrm {C} <-|\mu |$ le radical est toujours imaginaire et que, si $\mathrm {C} =-|\mu |,$ il ne cesse de l’être que pour $y_{1}=0.$ On peut éclaircir ce qui précède de deux manières :

1^o D’abord par la considération des fonctions elliptiques.

Nous voyons en effet que

$\mathrm {S} =\int {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}\,dy_{1}$

est une intégrale elliptique et que si nous posons

$u=\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}},$

les expressions

$\sin y_{1},\quad \cos y_{1},\quad {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}$

seront des fonctions doublement périodiques de $u.$

Les divers cas que nous avons examinés plus haut correspondent alors aux diverses hypothèses que l’on peut faire au sujet du discriminant des fonctions elliptiques.

2^o Par la Géométrie.

Nous pouvons construire en effet des courbes en adoptant les coordonnées polaires et en prenant pour rayon vecteur $\mathrm {A} +{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},$ $\mathrm {A}$ étant une constante quelconque et pour angle polaire $y_{1}.$ Nous obtenons ainsi une figure telle que celle-ci.

Les courbes en trait plein correspondent à l’hypothèse $\mathrm {C} >|\mu |,$ la courbe en trait pointillé à l’hypothèse

$-|\mu |<\mathrm {C} <|\mu |,$

la courbe en trait mixte — . — . qui a un point double en $\mathrm {B}$ au