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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

clair que $x_{1}^{0}$ est fonction de $\mathrm {C}$ et par conséquent $\mathrm {C}$ de $x_{1}^{0}\,;$ d’autre part, les $\mathrm {B} _{n}$ seront fonctions de $\mathrm {C}$ et par conséquent de $x_{1}^{0}.$

Il vient alors

$\mathrm {S} =x_{1}^{0}y_{1}+{\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{n}}\sin ny_{1},$

ce qui nous donne $\mathrm {S}$ en fonction de $y_{1}$ et de la constante arbitraire $x_{1}^{0}.$

2^o

$-|\mu |<\mathrm {C} <|\mu |.$

Dans ce cas la quantité sous le radical

$\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}$

n’est pas toujours positive, et, par conséquent, on ne peut pas donner à $y_{1}$ toutes les valeurs possibles, mais seulement celles pour lesquelles le radical est réel.

On peut introduire une variable auxiliaire $\varepsilon$ en posant, par exemple,

$\mu \cos y_{1}=\mathrm {C} \cos \varepsilon ,$

d’où

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}={\sqrt {\mathrm {C} }}\sin \varepsilon ,$

ou

${\frac {d\mathrm {S} }{dt}}={\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\mathrm {C} ^{2}\cos ^{2}\varepsilon }{\mathrm {C} }}}\cdot$

Comme $\mathrm {C} ^{2}$ est plus petit que $\mu ^{2},$ le radical du second membre est toujours réel et pourra être développé en série trigonométrique sous la forme

${\frac {d\mathrm {S} }{d\varepsilon }}=\mathrm {B} _{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos n\varepsilon ,$

d’où

$\mathrm {S} =\mathrm {B} _{0}+{\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{n}}\sin n\varepsilon ,$

ce qui nous donne $\mathrm {S}$ en fonction de la variable auxiliaire $\varepsilon$ et de la constante $\mathrm {C} .$

3^o

$\mathrm {C} =|\mu |.$

Soit, par exemple,

$\mu >0,\quad \mathrm {C} =\mu .$