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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas des $y$

(5)

$\mathrm {F} _{0}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{n}}}\right)=\mathrm {C} _{0}.$

On peut satisfaire à cette équation en faisant

$\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{0}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n},$

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=x_{2}^{0},&&\ldots ,&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{n}}}&=x_{n}^{0},\end{aligned}}$

les $x_{i}^{0}$ étant des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement puisque la constante $\mathrm {C} _{0}$ est elle-même arbitraire.

Nous poserons, comme dans les Chapitres qui précèdent,

$n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\cdot$

En égalant ensuite les coefficients des puissances semblables de $\mu$ dans les deux membres de l’équation (4), on obtient une série d’équations qui permettent de déterminer par récurrence $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p},$, $\ldots .$

Voici quelle est la forme de ces équations

(6)

$n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}+n_{2}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}}+\ldots +n_{n}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}}=\Phi _{p}+\mathrm {C} _{p}.$

$\Phi _{p}$ est un polynôme entier par rapport aux quantités

${\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dy_{i}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,p-1;\;i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

et les coefficients de ce polynôme sont des fonctions de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\ldots ,$ $x_{n}^{0}$ et de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,$ $y_{n},$ périodiques, de période $2\pi$ par rapport aux $y.$

Je dis qu’on pourra tirer la fonction $\mathrm {S} _{p}$ de cette équation (6) et de telle sorte que ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}},$ ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},$ $\ldots ,$ ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}},$ soient périodiques, de période $2\pi$ par rapport aux $y.$

Supposons, en effet, que cela soit vrai pour les dérivées de $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {S} _{p-1}$ par rapport aux $y.$

Alors $\Phi _{p}$ sera une fonction périodique de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,$ $y_{n}$ et je