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CHAPITRE XVIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

il vient

$f'=\varphi _{0}'+\mu \varphi _{1}'+\mu ^{2}\varphi _{2}'+\ldots ,$

$\varphi _{0}'$ dépendant seulement de $t,$ $\varphi _{1}'$ de $t$ et de $x_{1}',$ $\varphi _{2}'$ de $t,$ de $x_{1}'$ et de $x_{2}',\,\ldots .$

Nous aurons d’ailleurs

${\begin{array}{c}\varphi _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t)\ll \varphi _{k}'(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t),\\\left(\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,e^{\pm i\lambda t}\right).\end{array}}$

J’écris, pour abréger, $e^{\pm i\lambda t}$ pour les $n$ arguments $e^{\pm i\lambda _{1}t},$ $e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots ,$ $e^{\pm i\lambda _{n}t},$

L’équation (5) nous donnera

${\begin{aligned}\alpha x_{1}'&=\varphi _{0}',&\alpha x_{2}'&=\varphi _{1}',&&\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera successivement

${\begin{aligned}\varphi _{0}&\ll \varphi _{0}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{1}&\ll x_{1}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1}',t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{2}&\ll x_{2}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1},x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1}',x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{3}&\ll x_{3}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

et enfin

$x\ll x'\quad (\mathrm {arg} \,\mu ,e^{\pm i\lambda t}),$

ce qui montre que le développement (2) est bien convergent.

Ainsi ce développement converge dans deux cas :

1^o Quel que soit $\alpha ,$ quand il n’y a qu’un seul argument $\lambda _{1}t\,;$

2^o Quel que soit le nombre des arguments, quand $\alpha$ est positif.