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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

les $m_{i}$ étant des entiers et $k$ et $\mathrm {A}$ des constantes quelconques, nous pourrons prendre

(4)

$x_{i}=-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {A} \cos \left[(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})t+k\right]}{\alpha +(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})^{2}}}$

et $x_{i}$ sera de la forme voulue.

Il reste à reconnaître si le développement (2) est convergent. C’est ce qui arrive toutes les fois que $\alpha$ est positif.

Supposons, en effet, $\alpha$ positif ; nous aurons alors

${\frac {1}{\alpha }}>{\frac {1}{\alpha +(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})^{2}}}$

Reprenons la notation du Chapitre II et introduisons une nouvelle fonction de $t$ de même forme que $\varphi _{i-1}$ et que nous appellerons $\varphi _{i-1}'\,;$ supposons qu’elle soit telle que

$\varphi _{i-1}\ll \varphi _{i-1}'\quad \left(\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right).$

Définissons ensuite $x_{i}'$ par l’équation

$\alpha x_{i}'=\varphi _{i-1}$

et $x_{i}$ par l’équation (4), nous aurons évidemment

$x_{i}\ll x_{i}'.$

Soit alors une fonction $f'(x,t,\mu )$ de même forme que $f(x,t,\mu )$ et telle que

$f\ll f'\quad \left(\mathrm {arg} \,x,\,\mu ,\,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right)$

Envisageons l’équation (5) qui définira une nouvelle fonction $x'$

(5)

$\alpha x'=\mu f'(x',t,\mu ).$

On peut tirer de cette équation $x',$ en une série convergente ordonnée suivant les puissances de $\mu ,$

$x'=x_{1}'\mu +x_{2}'\mu ^{2}+x_{3}'\mu ^{3}+\ldots ;$

les coefficients en sont ordonnés suivant les sinus et cosinus des multiples des $\lambda _{i}t.$

Si nous substituons ce développement à la place de $x'$ dans $f',$