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CHAPITRE XVIII.

où $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,.$ sont développables suivant les sinus et le cosinus des multiples des $\lambda _{i}t\,?$

Pour nous en rendre compte, nous allons employer une méthode qui rappellera celle du n^o 45 et qui, quoique plus générale, sera plus simple, parce que, dans ce n^o 45, j’avais introduit à dessein, en supposant $\alpha =0,$ une difficulté qui ne se présente pas dans le cas général.

Supposons le problème résolu et substituons, à la place de $x$ dans $f,$ le développement (2) ; après cette substitution, $f$ sera développable suivant les puissances de $\mu ,$ d’abord parce que cette fonction était déjà développable suivant les puissances de cette variable avant la substitution et, ensuite, parce que la valeur de $x$ donnée par l’équation (2) est elle-même développée suivant les puissances de $\mu .$ Nous aurons donc

$f=\varphi _{0}+\mu \,\varphi _{1}+\mu ^{2}\varphi _{2}+\ldots .$

$\varphi _{0}$ ne dépendra que de $t\,;$ $\varphi _{1}$ de $t$ et de $x_{1}\,;$ $\varphi _{2}$ de $t,$ de $x_{1}$ et de $x_{2}\,;$ et ainsi de suite.

L’équation (1) nous donnera alors, en égalant les coefficients des diverses puissances de $\mu ,$

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}-\alpha x_{1}&=\varphi _{0},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}-\alpha x_{2}&=\varphi _{1},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}x_{3}}{dt^{2}}}-\alpha x_{3}&=\varphi _{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..;\end{aligned}}\right.$

ce qui nous permettra de déterminer par récurrence les diverses fonctions $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},\,\ldots .$

Les équations (3) sont de la forme

${\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}-\alpha x_{i}=\varphi _{i-1}.$

Si $\varphi _{i-1}$ est développable suivant les sinus et cosinus des multiples des $\lambda t$ et s’écrit

$\varphi _{i-1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos \left[(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})t+k\right],$