Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/322

308

CHAPITRE XVIII.

Je trouve ainsi

(6)

$h^{2}{\frac {d^{2}x}{dw^{2}}}+2h\,{\frac {d^{2}x}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=\alpha \,\varphi (x,t).$

Je substitue à la place de $x$ et de $h$ leurs développements suivant les puissances de $\alpha$

${\begin{aligned}x&=x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2}+\ldots ,\\h&=h_{0}+\alpha h_{1}+\alpha ^{2}h_{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

et j’égale les coefficients des puissances semblables de $\alpha .$ J’obtiens ainsi les équations suivantes

(7)

$h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{0}}{dt^{2}}}+f(x_{0})=0,$

(8)

$\left\{{\begin{aligned}2h_{0}h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}&+2h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+f'(x_{0})x_{1}=\Phi ,\end{aligned}}\right.$

(9)

$\left\{{\begin{aligned}2h_{0}h_{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}&+2h_{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{2}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+f'(x_{0})x_{2}=\Phi .\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Je désigne par $\Phi$ toute fonction connue de $t$ et de $w\,;$ le second membre de (8) est connu parce que $h_{0}$ et $x_{0}$ ont été déterminés à l’aide de l’équation (7) ; le second membre de (9) est connu parce que $h_{0},$ $h_{1},$ $x_{0},$ $x_{i}$ ont été déterminés à l’aide de (7) et de (8), et ainsi de suite.

L’équation (7) se ramène à l’équation (5) ; on aura donc

$x_{0}=\omega (w,\beta ),$

$\omega$ étant une fonction de $w$ et de la constante $\beta ,$ périodique par rapport à $w.$

Considérons maintenant l’équation (8) ; si $h_{1}$ était connu, elle s’écrirait

(8 bis)

$h_{0}^{2}{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}++2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+f'(x_{0})x_{1}=\Phi .$