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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

Reste le cas où $m=1.$

D’après ce que nous venons de voir, on peut appliquer les procédés du n^o 127 à l’équation

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=\alpha \,\mathrm {A} \,x\cos \lambda t,$

et, si l’on fait jouer à $\alpha$ le rôle de $\mu ,$ la convergence sera lente ou rapide suivant que ${\frac {2q}{\lambda }}$ sera ou ne sera pas voisin d’un entier. Elle sera lente surtout si ${\frac {2q}{\lambda }}$ est voisin de 1 ; et, en effet, d’après ce que nous avons vu au n^o 179, l’expression de $\mathrm {F} _{1}(t)$ contient en dénominateur $q^{2}-1.$

Il en résulte que la fonction $\mathrm {F} (t),$ développée comme dans ce n^o 179 suivant les puissances de $q_{1},$ contient des termes en

${\frac {q_{1}}{q^{2}-1}}\cdot$

La fonction $\mathrm {F} (t)$ qui satisfait à l’équation

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=q_{1}x\cos 2t$

est donc très grande si $q$ est voisin de 1. Or l’équation (2) se ramène à l’équation (3) en y changeant $t$ en ${\frac {2t}{\lambda }},$ $q$ en ${\frac {\lambda q}{2}},$ $\alpha \mathrm {A}$ en ${\frac {\lambda ^{2}q_{1}}{4}}\cdot$

L’intégrale de (2) pourra donc devenir grande et sa convergence sera lente si ${\frac {2q}{l}}$ est voisin de 1, ainsi que je viens de l’énoncer.

Si donc, dans le second membre de (1), il y a un terme tel que $x$ y entre en facteur à la première puissance, et si son argument $\lambda t$ est tel que ${\frac {2q}{\lambda }}$ est voisin de 1, on augmentera beaucoup la rapidité de la convergence en faisant passer ce terme dans le premier membre.

Voyons si ce cas se présente dans l’application de la méthode de M. Gyldén au Problème des trois Corps.