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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

d’où

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\beta '&=-\Phi \eta ,\\\gamma '&=\Phi \xi .\end{aligned}}\right.$

Ces équations (9) sont faciles à intégrer.

Prenons, par exemple, la deuxième de ces équations (9) ; $\Phi \xi$ sera développable en une série de la forme

(10)

$\Phi \xi =\mathrm {B} _{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \cos(mw+\mu t+k)\,;$

les $\mathrm {B}$ et les $k$ sont des constantes, $m$ est un entier ; $\mu$ est une combinaison linéaire à coefficients entiers de $2$ et des $\lambda _{i}\,;$ j’ai mis en évidence le terme tout connu $\mathrm {B} _{0}.$

L’équation

$h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}}=\Phi \xi$

nous donne alors

$\gamma =\mathrm {B} _{0}t+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {B} \sin(mw+\mu t+k)}{mh_{0}+\mu }}+\psi (w-h_{0}t),$

$\psi$ étant une fonction arbitraire de $w-h_{0}t.$

Si nous voulons que $\gamma$ soit développable en série trigonométrique, de même forme que la série (10), il faut :

1^o Que cette fonction $\psi$ soit nulle (car je ne suppose pas que l’on ait de relation de la forme $mh_{0}+\mu =0$). Nous prendrons donc $\psi =0\,;$

2^o Que $\mathrm {B}$ soit nul.

Pour que nous puissions résoudre le problème que nous nous sommes proposé, il faut donc remplir deux conditions :

Le terme tout connu de $\Phi \xi ,$ de même que celui de $\Phi \eta ,$ devra être nul.

Nous choisirons $h,$ de façon à satisfaire à l’une de ces conditions et l’autre devra être remplie d’elle-même, à moins que le problème proposé ne soit impossible.

On se servirait de même de l’équation $\mathrm {E} _{i}$ pour déterminer $x_{i}$ et $h_{i}\,;$ pour que $x_{i}$ conserve la forme trigonométrique, il faut deux conditions ; on satisfera à l’une en choisissant convenablement $h_{i}$ et la seconde devra être remplie d’elle-même.

Ainsi :

Ou bien le problème proposé est impossible ;