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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
d’où
(9)
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Ces équations (9) sont faciles à intégrer.
Prenons, par exemple, la deuxième de ces équations (9) ;
sera développable en une série de la forme
(10)
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les
et les
sont des constantes,
est un entier ;
est une
combinaison linéaire à coefficients entiers de
et des
j’ai mis
en évidence le terme tout connu ![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8094cef709e1302f623cbba5562943ff504dc1e7)
L’équation
![{\displaystyle h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}}=\Phi \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560e3072f6dfcdfb2ce6b37418a1a2e57ad0a6b1)
nous donne alors
![{\displaystyle \gamma =\mathrm {B} _{0}t+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {B} \sin(mw+\mu t+k)}{mh_{0}+\mu }}+\psi (w-h_{0}t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caaf24ad50890ed3c128b01ecbfe100bbe8f2d7)
étant une fonction arbitraire de ![{\displaystyle w-h_{0}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3ff1b97a827b182d76359e7f9f7e5275e66cbf)
Si nous voulons que
soit développable en série trigonométrique,
de même forme que la série (10), il faut :
1o Que cette fonction
soit nulle (car je ne suppose pas que
l’on ait de relation de la forme
). Nous prendrons
donc
2o Que
soit nul.
Pour que nous puissions résoudre le problème que nous nous
sommes proposé, il faut donc remplir deux conditions :
Le terme tout connu de
de même que celui de
devra
être nul.
Nous choisirons
de façon à satisfaire à l’une de ces conditions
et l’autre devra être remplie d’elle-même, à moins que le problème
proposé ne soit impossible.
On se servirait de même de l’équation
pour déterminer
et
pour que
conserve la forme trigonométrique, il faut deux
conditions ; on satisfera à l’une en choisissant convenablement
et la seconde devra être remplie d’elle-même.
Ainsi :
Ou bien le problème proposé est impossible ;