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CHAPITRE XVIII.

une intégrale en faisant

$x_{0}=\beta \xi +\gamma \eta .$

C’est la seule d’ailleurs qui soit périodique en $w$ et en $t.$

Passons à l’équation $\mathrm {E} _{1}$ ; si $h_{1}$ était connu, on pourrait l’écrire

(8)

$h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+x_{1}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi .$

Comment intégrerions-nous alors l’équation (8) ?

Posons

${\begin{aligned}\xi '&=h_{0}\,{\frac {d\xi }{dw}}+{\frac {d\xi }{dt}}=-{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt),\\[0.75ex]\eta '&=h_{0}\,{\frac {d\eta }{dw}}+{\frac {d\eta }{dt}}=+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt).\end{aligned}}$

Le déterminant $\xi \eta '-\xi '\eta$ sera une constante que nous pourrons toujours supposer égale à 1, puisque les rapports des coefficients $\mathrm {A} _{n}$ sont seuls déterminés et que l’on peut choisir arbitrairement $\mathrm {A} _{0}.$

Appliquons maintenant la méthode de la variation des constantes. Si nous désignons par $\beta$ et $\gamma ,$ non plus deux constantes, mais deux fonctions de $w$ et de $t,$ nous pourrons définir ces deux fonctions par les équations

${\begin{aligned}x_{1}=\beta \xi &+\gamma \eta ,\\[0.75ex]h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\beta \xi '+\gamma \eta '.\end{aligned}}$

Si nous posons, pour abréger,

${\begin{aligned}\beta '&=h_{0}\,{\frac {d\beta }{dw}}+{\frac {d\beta }{dt}},\\[0.75ex]\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\end{aligned}}$

l’équation (8) pourra alors être remplacée par les deux suivantes

${\begin{alignedat}{5}\beta '\xi \,&{}+{}&\gamma '\eta \,&=0\\\beta '\xi '&{}+{}&\gamma '\eta '&=\Phi ,\end{alignedat}}$