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CHAPITRE XVIII.

Soit $\xi _{2}'$ ce que devient $\xi _{2}$ quand on y remplace $h_{2}$ par $h_{3},$ c’est-à-dire que $\xi _{2}'$ est déduit de $\xi _{2}$ comme $\xi _{1}'$ de $\xi _{1}.$ Soit $\psi _{2}'$ ce que devient $\psi _{2}$ quand on y remplace $\xi _{2}$ par $\xi _{2}'.$

Envisageons l’équation

(4)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{3})\cos 2t\right]=\psi _{2}',$

et soit $\xi _{3}$ ce que devient une des solutions de cette équation quand on en retranche les termes séculaires, de telle sorte que $\xi _{3}$ se déduise d’une solution de (4) par la même loi que $\xi _{2}$ d’une solution de (3).

Il est aisé de voir en effet que ces termes séculaires sont du même ordre que ceux que nous avons négligés dans cette troisième approximation.

Ayant ainsi défini $\xi _{3},$ on procéderait d’après la même règle aux approximations suivantes.

Il me reste quelques observations à faire.

Pour former l’équation (3), nous avons remplacé plus haut dans $\xi _{1}$ et dans $\psi _{1}$ le coefficient $h_{1}$ par $h_{2},$ c’est-à-dire que nous avons remplacé $\xi _{1}$ et $\psi _{1}$ par $\xi _{1}'$ et $\psi _{1}'\,;$ et de même aux approximations suivantes.

Si nous ne l’avions pas fait, nous aurions introduit un beaucoup plus grand nombre d’arguments qu’il n’est nécessaire, ce qui aurait été un très grave inconvénient.

Mais en revanche il semble d’abord que nous aurions ainsi évité complètement les termes séculaires ; en effet, $\psi _{1}$ contiendrait des termes d’argument $(h_{1}+2n)t,$ $x_{1}^{(2)}$ et $x_{2}^{(2)}$ des termes d’argument $(h_{2}+2n)t,$ de sorte que les produits $x_{1}^{(2)}\psi _{1},$ $x_{2}^{(2)}\psi _{1}$ ne contiendraient plus de termes tous connus, mais seulement des termes en

$\cos(h_{1}-h_{2})t,\quad \sin(h_{1}-h_{2})t.$

Mais ce serait là une illusion ; car, la différence $h_{1}-h_{2}$ étant très petite, ces termes sont à très longue période ; l’intégration introduirait de très petits diviseurs et la convergence des approximations deviendrait illusoire.

D’autre part, il semble que le succès de la méthode tient à la circonstance suivante. À chaque approximation nous avons deux