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CHAPITRE XVIII.
Il convient donc d’attribuer à 
et à 
de nouvelles valeurs 
et 
que nous choisirons de telle sorte que l’intégrale générale de
l’équation
| (2 bis)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+x\left[q^{2}+\beta +(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]\\&=\beta _{2}\xi _{1}+\gamma _{2}\xi _{1}\cos 2t+\alpha \varphi (\xi _{1},t)=\psi _{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68ccefa96657813096fafd529462e580fd432f8)
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ne contienne pas de termes séculaires. Nous savons quelle est
la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi.
Soient 
et 
deux intégrales indépendantes de l’équation
Il faut que les développements de 
et de 
ne contienne
pas de terme tout connu. Il est clair que l’on peut toujours disposer
de et de pour qu’il en soit ainsi.
Cela posé, envisageons l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eefa5bb420c9c93da121fcb9d609b64ad0d436c)
Soient 
et 
deux intégrales de cette équation et 
la
valeur correspondante du nombre 
et seront alors
développés suivant les cosinus et les sinus de 
étant
un entier.
Observons maintenant que 
contient des termes de deux sortes.
Ceux de la première sorte dépendent des sinus et des cosinus de
ceux de la seconde sorte dépendent des sinus et des cosinus de
étant un des arguments dont dépend 
Soit alors 
ce que devient quand on y remplace 
par
dans les termes de la première sorte ; et soit 
ce que devient 
quand on y remplace par 
Au lieu de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=\psi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9267425cde520add04bab59966a72f61960ac8f8)
