étant une combinaison linéaire à coefficients entiers des coefficients
Quelle est maintenant la condition pour que l’expression (6) conserve sa forme trigonométrique ? Il suffit que, et supposés développés en séries trigonométriques, il n’y ait pas de terme tout connu ;
Ou bien encore que le développement de ou de ne contienne pas de terme ayant même argument que l’un des termes de
Ou enfin que étant l’un quelconque des arguments des termes de ne soit pas une combinaison linéaire des à coefficients entiers.
Si, en particulier, la fonction est périodique de façon que
étant entier, le rapport ne devra pas être entier.
Si est une fonction périodique de deux arguments et de telle façon que
et étant entiers, on ne devra pas avoir de relations de la forme
Ces conditions sont suffisantes, mais elles ne sont pas nécessaires ; si, en effet, un terme de et un terme de ont même argument, leur produit donnera dans le développement de un terme tout connu. Nous obtiendrons donc ainsi autant de termes tout connus dans le produit qu’il y a dans les deux facteurs de couples de termes ayant même argument. Mais il peut se faire que ces termes se détruisent mutuellement.
La condition nécessaire et suffisante est donc que le terme tout connu de et celui de soient nuls.
