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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
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Soit l’équation du premier ordre

(3)

Je supposerai que est une série de la forme

Les et les prennent toutes les valeurs entières possibles, est une constante, les sont des coefficients constants, et est un paramètre très petit, par rapport aux puissances duquel nous développerons.

L’intégration donne alors

(4)

Cette solution doit être modifiée quand est commensurable ; soit en effet et étant premiers entre eux, sera nul quand on aura

étant entier.

Il viendra alors

(5)

où sous le signe on ne donne à et à que les valeurs qui n’annulent pas et où

Si dans les formules (4) et (5) on passe des logarithmes aux nombres, on trouvera dans un cas comme dans l’autre

étant une série ordonnée suivant les puissances de et dont