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CHAPITRE XVII.

suivant les puissances de $\mu ,$ ne sont plus convergentes, de sorte que ces procédés n’ont plus d’autre valeur que celle que peut posséder, d’après le Chapitre VIII, toute méthode de calcul formel.

Nous pourrons donc satisfaire formellement à l’équation (1), en faisant

(2)

$x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}\cos(h+\gamma _{m})t+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{m}\sin(h+\gamma _{m})t.$

Dans cette formule, $h,$ $\mathrm {B} _{m}$ et $\mathrm {C} _{m}$ sont des séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients sont des constantes. Les $\gamma _{m}$ sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers des $\alpha _{i},$ de sorte que

$\gamma _{m}=\mathrm {N} _{1}\alpha _{1}+\mathrm {N} _{2}\alpha _{2}+\ldots +\mathrm {N} _{n}\alpha _{n}$

et les sommations doivent être étendues à toutes les combinaisons des valeurs entières des $\mathrm {N} _{1},$ $\mathrm {N} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {N} _{n}.$

La divergence de la série (2) pourra causer quelque étonnement. Supposons, en effet, que les $\alpha _{i}$ sont de la forme

$\alpha _{i}=m_{i}\lambda +m_{i}',$

les $m_{i}$ et les $m_{i}'$ étant des entiers et une $\lambda$ constante qui est la même pour tous les $\alpha _{i}.$

Faisons varier $\lambda ,$ en conservant à $\mu ,$ aux $\mathrm {A} _{i},$ aux $\beta _{i},$ aux $m_{i}$ et aux $m_{i}'$ des valeurs invariables.

Pour toutes les valeurs commensurables de $\lambda ,$ les $\alpha _{i}$ seront commensurables entre eux et la fonction $\varphi$ sera périodique. Nous savons alors, par le n^o 29, que l’équation (1) admet une solution de la forme (2) et de plus que cette solution n’est pas purement formelle et que les séries sont convergentes.

Comme, dans tout intervalle, il y a une infinité de nombres commensurables, on s’étonnera que les séries auxquelles on parvient, quand $\lambda$ varie dans un intervalle si petit qu’il soit, puissent être ainsi une infinité de fois convergentes et une infinité de fois divergentes.

On comprendra mieux ce fait paradoxal si l’on étudie l’exemple simple qui va suivre.