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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

facteurs primaires de la forme

$\mathrm {A} \left(1-{\frac {x}{b}}\right)e^{\mathrm {P} },$

$\mathrm {P}$ étant un polynôme d’ordre $p$ en $x.$

Pour démontrer ce point capital, je dois faire usage de certaines inégalités que je vais d’abord établir.

Cherchons une limite supérieure de

$|\nabla (y+ix)|.$

Comme la fonction $\nabla$ est périodique de période 2, j’e pourrai toujours supposer que $y$ est compris entre $-1$ et $+1.$ On aura alors

$\left|q^{2}+q_{1}+(y+ix-2n)^{2}\right|<q^{2}+|q_{1}|+x^{2}+(y-2n)^{2}$

et, par conséquent, en posant comme plus haut,

$\lambda =q^{2}+|q_{1}|,$

il viendra en faisant usage de notre inégalité fondamentale

(α)

$\left|\nabla (y+ix)\right|<\left(\lambda +y^{2}-x^{2}\right)\Pi \left[{\frac {\lambda +x^{2}+(y-2n)^{2}}{4n^{2}}}\right]\cdot$

Le second membre de cette inégalité est une fonction de $x^{2}$ que je désignerai par $\mathrm {F} (x^{2}).$

Posons pour un instant $x^{2}=t^{3}$ et considérons la fonction $\mathrm {F} (t^{3}).$ Il est aisé de voir qu’elle est de genre 1.

En effet, la fonction $\mathrm {F} (x)$ est de genre 0 et peut se mettre sous la forme

$\mathrm {F} (x)=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {x}{b_{n}^{3}}}\right)\cdot$

Je représente par $b_{n}^{3}$ les racines de l’équation $\mathrm {F} (x)=0\,;$ d’où

$\mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)\left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)$

ou

$\mathrm {F} (t^{3})=\mathrm {A} \,\Pi \left(1-{\frac {1}{b_{n}}}\right)e^{\frac {1}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha \,t}{b_{n}}}\Pi \left(1-{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}\right)e^{\frac {\alpha ^{2}t}{b_{n}}}.$

On vérifierait sans peine que les trois produits du second membre sont absolument convergents.