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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
tion
![{\displaystyle 2i\pi \varphi (x)=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z-x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9672cad93d312f37c77b737b8479e17bd4c38828)
sera évidemment une fonction holomorphe de
je dis que
est égal à ![{\displaystyle \nabla (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab5548c4ae3f0863dc2c34b478dff90f8cba153)
En effet, comme il résulte des démonstrations précédentes que
la convergence de
est uniforme, nous pourrons prendre
assez grand pour que l’on ait au point
et sur tout le contour
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\nabla (x)-\nabla _{n}(x)|&<\varepsilon ,&|\nabla (z)-\nabla _{n}(z)|&<\varepsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53278a8d590e0f55951399e4080dfd3a7b982322)
et, par conséquent,
![{\displaystyle 2i\pi |\varphi (x)-\nabla _{n}(x)|<\varepsilon \,l,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae65bb5690bbaf3a6e0d6f4f1e446a614f8d520f)
étant la longueur du contour
divisée par le minimum de ![{\displaystyle |z-x|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f62ae11cc02f9dcae9d9b05a72c486446d7bfbe)
Ainsi les différences
et
peuvent
être rendues aussi petites qu’on le veut, ce qui ne peut avoir
lieu que si
C. Q. F. D.
Donc
est holomorphe.
Je dis maintenant que
est périodique.
Désignons, en effet, par
le déterminant fini obtenu en
prenant dans
les
lignes et les
colonnes numérotées
de
à
et par
le déterminant obtenu en
prenant dans
les lignes et les colonnes correspondantes.
La démonstration de la convergence d’un déterminant indéfini
dans les deux sens a été donnée au no 185, quand la diagonale
principale a tous ses éléments égaux à 1. Elle ne suppose pas que
l’on s’astreigne à prendre autant de lignes dont les numéros sont
négatifs que de lignes dont les numéros sont positifs. On aura
donc
pour
![{\displaystyle n=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240243d41fea2dc34387b6dff7818dd7b73549af)
D’autre part, il est clair que
![{\displaystyle \mathrm {E} _{n}(n)=\mathrm {E} _{n}'(x)(q^{3}-x^{2})\Pi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8a32a4f2764065d4ff6f9afad56506886d18de)
où
est le produit des facteurs
(5)
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où
prend les valeurs
et ![{\displaystyle n+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e78a98425372b5bd5d1a317bea9fc33afb109eb)