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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et la ligne numérotée $n\;(n\gtrless 0)$ par

${\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot$

Je dis que le déterminant $\nabla (h),$ ainsi obtenu, sera encore convergent ; et, en effet, si nous nous rappelons la définition donnée plus haut de la limite d’un déterminant indéfini dans les deux sens, nous verrons que

$\nabla (h)=\square \,(h)(q^{2}-h^{2})\Pi ,$

$\Pi$ étant la limite vers laquelle tend le produit des $2m$ facteurs

${\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}},$

où $n=\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ,\,\pm m$ quand $m$ croît indéfiniment : $\Pi$ est donc la limite du produit infini

$\prod _{n=1}^{\infty }\left[1+{\frac {h^{2}-q^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {h^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(h^{2}-q^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],$

lequel est évidemment convergent. Donc $\nabla (h)$ converge.

Appelons $b_{n.p}$ celui des éléments de ce déterminant qui appartient à la ligne numérotée $n$ et à la colonne numérotée $p.$ Nous aurons

${\begin{aligned}b_{0.0}=q^{2}-h^{2}&,&b_{n.n}&={\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\\b_{0.1}=b_{0.-1}=-{\frac {q_{1}}{2}}&,&b_{n.n+1}&=b_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{8n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\end{aligned}}$

$b_{n.p}=0\quad (|n-p|>1).$

Nous allons remplacer dans $\nabla (h)\;h$ par $x$ et étudier les propriétés de la fonction $\nabla (x)$ ainsi définie.

Je dis d’abord que c’est une fonction entière.

En effet, on aura évidemment, en remplaçant $h$ par $x,$

${\begin{aligned}|b_{0.0}|&<q^{2}+x^{2},&|b_{n.n}|&<{\frac {q^{2}-(x+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot \end{aligned}}$