265
CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
On aura donc, en appelant encore
l’élément du déterminant
qui appartient à la ligne numérotée
et à la colonne numérotée
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{nn}&=1;&a_{n.n-1}&=a_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\,;\\[0.5ex]&&a_{n.p}&=0\quad \left({\begin{array}{r}p<n-1\\\mathrm {ou} \;p>n+1\end{array}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefc27cf2e60bd463eaf867ae8eaae844854804d)
Pour que le déterminant converge, il suffit donc que la série
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{n=+\infty }\left|{\frac {_{1}}{q^{2}-(h+2n)^{2}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7499368fdfe9d8c4c003fcd7e306bbb5ea3dda)
converge, condition qui est évidemment remplie.
Ce déterminant est évidemment une fonction de
que j’appellerai
avec M. Hill
Alors
sera déterminé par l’équation
(3)
|
|
|
sur laquelle nous allons revenir.
Supposons ensuite que dans ce déterminant nous remplacions
les éléments de la ligne numérotée zéro par des indéterminées
que nous remplacions par conséquent
![{\displaystyle \ldots ,\quad a_{0.-p}=0,\quad \ldots ,\quad a_{0.-1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad a_{0.0}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1d689ea4c21f45f20dc876c805b9a4772e05c1)
![{\displaystyle a_{0.1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad \ldots ,\quad a_{0.p}=0,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e19076fc14393d8e4107a97c1352d1846d3d5a)
respectivement par
![{\displaystyle \ldots ,\quad x_{-p},\quad \ldots ,\quad x_{-1},\quad x_{0},\quad x_{1},\quad \ldots ,\quad x_{p},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0097d2e5bd0ad277b447318d1b7c3d74316a6c2c)
D’après ce qui précède, le déterminant
ainsi obtenu convergera
encore pourvu que les quantités
soient plus petites qu’un
nombre donné
Il sera une fonction linéaire des
et pourra
s’écrire
![{\displaystyle \Delta =\ldots +\mathrm {A} _{-p}x_{-p}+\ldots +\mathrm {A} _{0}x_{0}+\ldots +\mathrm {A} _{p}x_{p}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6629c8b5e92c71b1fd975f56c45f6bf91fcd39)
On obtiendra d’ailleurs évidemment
en donnant à
la
valeur 1 et aux autres indéterminées
la valeur zéro.