Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/277

263

CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Imaginons maintenant que le Tableau (5) soit indéfini dans les deux sens, de sorte que les colonnes et les lignes soient numérotées depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty .$

Le terme qui appartiendra à la fois à la ligne numérotée $n$ et à la colonne numérotée $p$ s’appellera $a_{np}.$ D’ailleurs $n$ et $p$ pourront prendre toutes les valeurs entières positives ou négatives, y compris la valeur zéro.

Nous appellerons $\Delta _{n}$ le déterminant formé en prenant les $2n+1$ lignes numérotées $-n,$ $-n+1,$ $-n+2,\,\ldots ,$ $-1,$ $0,$ $1,$ $2,\,\ldots ,$ $n-1,$ $n$ et les $2n+1$ colonnes portant les mêmes numéros. Le déterminant d’ordre infini convergera si $\Delta _{n}$ tend vers une limite finie et déterminée.

Nous supposerons toujours que les termes de la diagonale principale sont égaux à 1, c’est-à-dire que $a_{nn}=1.$

Alors, en raisonnant tout à fait comme plus haut, on trouverait que le déterminant converge absolument pourvu que la série

${\textstyle \sum }\,|a_{np}|\quad (n\gtrless p\,;\,n,\,p\;$ variant de $\;-\infty \;$à$\;+\infty )$

soit convergente.

Supposons maintenant que dans notre Tableau à double entrée, c’est-à-dire d’après la définition qui précède, dans notre déterminant d’ordre infini, on remplace tous les éléments d’une certaine ligne par une suite de quantités

$\ldots ,\quad x_{-n},\quad \ldots ,\quad x_{-1},\quad x_{0},\quad x_{1},\quad \ldots ,\quad x_{n},\quad \ldots ,$

qui soient toutes plus petites en valeur absolue qu’un certain nombre positif $k.$ Je dis que le déterminant restera convergent si la série

${\textstyle \sum }\,|a_{np}|\qquad (n\gtrless p)$

converge.

En effet, prenons, comme il a été dit plus haut, $2n+1$ lignes et $2n+1$ colonnes dans le Tableau à double entrée, de façon à former le déterminant $\Delta _{n}.$ Supposons que l’on fasse la somme des valeurs absolues des éléments de chaque ligne, en exceptant la ligne dont les éléments ont été remplacés par des quantités $x.$ Faisons ensuite le produit $\Pi _{n}$ des $2n$ sommes ainsi obtenues. Un terme quelconque du déterminant $\Delta _{n}$ sera un terme du produit $\Pi _{n}$