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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

fraction continue sera

${\frac {\mu \mathrm {R} +\mu '\mathrm {R} '}{\mu _{1}\mathrm {R} +\mu _{1}'\mathrm {R} '}}\cdot$

Pour certaines valeurs de $q_{1},\,q$ et $\lambda ,$ par conséquent, pour certaines valeurs des coefficients $\mu ,$ il peut arriver que cette fraction soit nulle ou infinie ; mais elle ne se présentera jamais sous la forme indéterminée ${\tfrac {0}{0}}\cdot$

Dans le cas où $q=\pm (\lambda +2n),$ et où, par conséquent, $\mathrm {M} _{n}=\infty ,$ il n’y a presque rien à changer à ce qui précède. Si, par exemple, on avait $\mathrm {M} _{2}=\infty ,$ notre fraction continue deviendrait

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{1+{\dfrac {\dfrac {\mathrm {M} _{1}}{\mathrm {M} _{3}}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}$

La limite de notre fraction continue étant une fonction de $\lambda ,$ nous pouvons l’appeler $\psi (\lambda )$ et écrire

$\alpha _{1}=\psi (\lambda ).$

On trouverait de même

${\begin{aligned}\alpha _{-1}&=\psi (-\lambda ),&\alpha _{2}&=\psi (\lambda +2),&\alpha _{3}&=\psi (\lambda +4),&\alpha _{n}&=\psi (\lambda +2n-2),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha _{-2}&=\psi (2-\lambda ),&\alpha _{-n}&=\psi (2n-2-\lambda ),\end{aligned}}$

ce qui met en évidence la propriété caractéristique de la fonction $\psi (\lambda ),$ à savoir que

$\psi (\lambda )+{\frac {1}{\psi (\lambda -2)}}={\frac {2(q^{2}-\lambda ^{2})}{q_{1}}}\cdot$

Quand on a calculé $\psi (\lambda )$ et $\psi (-\lambda ),$ il est facile de calculer tous les rapports $\alpha _{n}$ et $\alpha _{-n}.$ Si alors on avait la valeur de $\mathrm {B} _{0},$ on en déduirait facilement celle de tous les coefficients $\mathrm {B} _{n}.$ Or il est évident que $\mathrm {B} _{0}$ satisfera à l’équation

$\mathrm {B} _{0}(q^{2}-\lambda ^{2})={\frac {\mathrm {B} _{0}q_{1}}{2}}\left[\psi (\lambda )+\psi (-\lambda )\right]+\beta ,$

ce qui détermine $\mathrm {B} _{0}.$

Pour $\lambda =h,$ $\mathrm {B} _{n}$ doit se réduire à $\mathrm {A} _{n}$ et $\beta$ à 0 ; d’où l’équation