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CHAPITRE XVII.
Considérons dans la série (6) les
premiers termes qui suivent
le
ième
![{\displaystyle \mathrm {M} _{n}\,\mathrm {M} _{n+1}+\mathrm {M} _{n+1}\,\mathrm {M} _{n+2}+\ldots +\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfe64e94a83a2bf523a7b1f747a6cacef9cc1b5)
Soit
la somme de ces
termes, nous pourrons toujours
prendre
assez grand pour que
soit positif et plus petit
que 1.
Considérons alors l’équation de récurrence
![{\displaystyle \mathrm {R} _{n+p}=\mathrm {R} _{n+p-1}-\mathrm {R} _{n+p-2}\,\mathrm {M} _{n+p-1}\,\mathrm {M} _{n+p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a99c97d438545517893d8055a1e7ebea3c55c)
Cette équation montre que, si l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}1>\mathrm {R} _{n+p-1}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-1}),\\1>\mathrm {R} _{n+p-2}&>(1-\mathrm {S} _{n.p-2})>0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721dfdc5252a2fc81424e6f93314e34c0e983c22)
on aura également
(7)
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|
Il suffit donc que l’on choisisse
et
de façon à satisfaire
à l’inégalité (7) pour que tous les termes
y satisfassent.
est donc toujours plus grand que
et, par conséquent,
positif. De plus, l’équation de récurrence montre que
va constamment
en décroissant quand l’indice
croît. Donc
tend vers une limite finie et déterminée. Choisissons donc
et
et
de façon à satisfaire aux inégalités (7) et
de façon que le déterminant
![{\displaystyle \mathrm {R} _{n+1}\,\mathrm {R} _{n+2}'-\mathrm {R} _{n+2}\,\mathrm {R} _{n+1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d42573b25a46c89cf566c30fc656d30c699b2cd)
ne soit pas nul.
Alors
et
tendront vers deux limites finies, déterminées
et différentes de 0,
et
Comme
et
satisfont aux mêmes relations de récurrence
que
et
et que ces relations sont linéaires, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {P} _{n}&=\mu &&\mathrm {R} _{n}+\mu '&&\mathrm {R} _{n}',\\\mathrm {P} _{n}&=\mu _{1}&&\mathrm {R} _{n}+\mu _{1}'&&\mathrm {R} _{n}',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ad445c26b1193d9c9341954ae5485e354fe41d)
étant des coefficients constants et la limite de notre