Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/271

257

CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

d’où

$\alpha _{n}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-\mathrm {M} _{n}\alpha _{n+1}}}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n+1}}{1-\mathrm {M} _{n+1}\alpha _{n+2}}}}}=\ldots$

Nous sommes donc conduit à exprimer $\alpha _{1}$ par la fraction continue

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}}}$

Cette fraction continue est-elle convergente ? Soit ${\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}$ sa $n$^ième réduite, nous aurons

(5)

${\begin{aligned}\;\;\mathrm {P} _{n}&=\mathrm {P} _{n-1}-\mathrm {P} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1},&\mathrm {Q} _{n}&=\mathrm {Q} _{n-1}-\mathrm {Q} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1}\end{aligned}}$

et, d’autre part,

$\mathrm {P} _{n}\mathrm {Q} _{n-1}-\mathrm {P} _{n-1}\mathrm {Q} _{n}=\mathrm {M} _{1}^{2}\,\mathrm {M} _{2}^{2}\,\mathrm {M} _{3}^{2}\ldots \mathrm {M} _{n-1}^{2}\,\mathrm {M} _{n}.$

Je remarque d’abord que, quand $n$ croît indéfiniment, $\mathrm {M} _{n}$ tend vers 0 et que la série

(6)

$\mathrm {M} _{1}+\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}+\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}+\ldots$

est absolument convergente (sauf dans le cas où l’une des quantités $\mathrm {M} _{n}$ est infinie, c’est-à-dire où $\lambda$ est égal à $\pm q$ à un entier près ; ce cas doit être exclu de la discussion qui va suivre). D’ailleurs, à partir d’un certain rang, tous les termes de cette série seront positifs.

Je dis maintenant que $\mathrm {P} _{n}$ va tendre vers une limite finie et qu’il en sera de même de $\mathrm {Q} _{n}.$

En effet, $\mathrm {P} _{n}$ et $\mathrm {Q} _{n}$ sont définis par les équations de récurrence (5). Déterminons par les mêmes équations deux quantités $\mathrm {R} _{n}$ et $\mathrm {R} _{n}',$ de telle sorte que

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{n}&=\mathrm {R} _{n-1}-\mathrm {R} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1},\\\mathrm {R} _{n}'&=\mathrm {R} _{n-1}'-\mathrm {R} _{n-2}'\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1}.\end{aligned}}$

Nous pourrons nous donner arbitrairement deux quelconques des quantités $\mathrm {R} _{n}$ et aussi deux quelconques des quantités $\mathrm {R} _{n}'.$