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CHAPITRE XVII.

les équations (2) soient satisfaites et la série $\mathrm {F} (t)$ convergente. Nous pouvons considérer également l’équation à second membre

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x-q_{1}x\cos 2t=\beta \cos \lambda t\,;$

cette équation admet une solution de la forme

$x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos(\lambda +2n)t.$

Il serait aisé d’ailleurs (par la méthode ordinaire d’intégration des équations linéaires à second membre) de calculer les coefficients $\mathrm {B} _{n}$ une fois qu’on connaîtrait $h$ et les $\mathrm {A} _{n}\,;$ mais, si l’on veut les calculer directement, on est conduit aux équations suivantes analogues aux équations (2)

(4)

$\mathrm {B} _{n}\left[q^{2}-(\lambda +2n)^{2}\right]={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {B} _{n-1}+\mathrm {B} _{n+1}).$

Pour $n=0,$ cette équation devrait être remplacée par la suivante

(4 bis)

$\mathrm {B} _{0}(q^{2}-\lambda ^{2})={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {B} _{-1}+\mathrm {B} _{1})+\beta ,$

qui se réduit encore aux équations (2), quand on y fait $\lambda =h,$ $\beta =0.$ Posons alors

${\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(\lambda +2n)^{2}\right]}}=\mathrm {M} _{n},$

$\mathrm {M} _{n}$ sera une fonction de $\lambda .$

Posons pour $n>o$

$\alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n-1}}}$

et, au contraire, pour $n<0,$

$\alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n+1}}},$

de telle façon que

${\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{2}&={\frac {\mathrm {B} _{2}}{\mathrm {B} _{1}}},&\ldots &,&\alpha _{-1}&={\frac {\mathrm {B} _{-1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{-2}&={\frac {\mathrm {B} _{-2}}{\mathrm {B} _{-1}}},&\ldots ;\end{aligned}}$

les équations (4) deviendront, en supposant $n>0,$

${\frac {1}{\mathrm {M} _{n}}}=\alpha _{n+1}+{\frac {1}{\mathrm {A} _{n}}},$