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CHAPITRE XVII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et faisons-y

$x=e^{\int \!z\,dt}.$

L’équation deviendra

(2)

${\frac {dz}{dt}}+z^{2}+q^{2}=q_{1}\cos 2t$

Supposons maintenant que l’on développe $z$ suivant les puissances croissantes de $q_{1}$ et qu’on ait

$z=z_{0}+q_{1}z_{1}+q_{1}^{2}z_{2}+\ldots .$

Nous déterminerons successivement

$z_{0},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad z_{3},\quad \ldots$

par la suite d’équations.

(3)

$\left\{{\begin{aligned}z_{0}&=\pm iq,\\{\frac {dz_{1}}{dt}}+2z_{0}z_{1}&=\cos 2t,\\{\frac {dz_{2}}{dt}}+2z_{0}z_{2}&=-z_{1}^{2},\\{\frac {dz_{3}}{dt}}+2z_{0}z_{3}&=-2z_{1}z_{2},\\{\frac {dz_{4}}{dt}}+2z_{0}z_{4}&=-2z_{1}z_{3}-z_{2}^{2},\\{\frac {dz_{5}}{dt}}+2z_{0}z_{5}&=-2z_{1}z_{4}-z_{2}z_{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}\right.$

Les équations (3) permettent de calculer les $z_{k}$ par récurrence ; si, en effet, on a intégré les $k$ premières de ces équations, et si l’on connaît par conséquent

$z_{0},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{k-1},$

la ($k$+1)^ième s’écrira (en prenant $z_{0}=+iq,$ par exemple)

${\frac {dz_{k}}{dt}}+2iqz_{k}=\mathrm {U} _{k},$

$\mathrm {U} _{k}$ étant une fonction connue de $t.$

Si $z_{0},\,z_{1},\,z_{2},\,\ldots ,\,z_{k-1}$ sont des fonctions périodiques de $t,$ de