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CHAPITRE XVII.

Il est clair, d’après la définition même de cette fonction, que $cnt$ tendra vers $\cos t$ quand $k$ tendra vers zéro. On peut donc, si $k$ est très petit, remplacer l’équation (2) par la suivante

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x(a+bcn^{2}t)$

et l’approximation sera d’autant plus grande que $k$ sera plus petit.

Cela posé, voyons quelles sont les conditions pour que l’intégrale générale de (3) n’ait d’autre singularité que des pôles. Le seul point singulier de l’équation (3) est le point

${\frac {\omega 'i}{2}},$

en appelant $\omega$ et $\omega 'i$ les périodes de $cn^{2}t.$ En effet, pour

$t={\frac {\omega 'i}{2}},$

$cnt$ devient infini. On sait que le résidu de $cnt$ est ${\frac {-{\sqrt {-1}}}{k}}\,;$ de sorte que nous aurons, en développant $cn^{2}t$ suivant les puissances de

$t-{\frac {\omega 'i}{2}}=u,$

une série de la forme suivante

$-{\frac {1}{k^{2}u^{2}}}+\alpha _{0}+\alpha _{1}u^{2}+\ldots$

ne contenant que des puissances paires de $u.$

La condition pour que le développement de $x$ suivant les puissances croissantes de $u$ commence par un terme en $u^{-n},$ s’obtient aisément en égalant dans les deux membres de (3) les termes en $u^{-n-2},$ qui sont alors les termes de degré le moins élevé ; elle s’écrit

$n(n+1)=+{\frac {b}{k^{2}}},$

d’où

(4)

$k^{2}=+{\frac {q_{1}}{2.n(n+1)}}\cdot$