de déterminer les constantes
quand on connaît les et les
Méthode de M. Gyldén.
182.M. Picard a démontré le théorème suivant :
Si une équation linéaire a pour coefficients des fonctions doublement périodiques et si son intégrale générale n’a d’autre singularité que des pôles, cette intégrale s’exprime à l’aide des « fonctions doublement périodiques de deuxième espèce », c’est-à-dire des fonctions qui se reproduisent multipliées par un facteur constant quand la variable augmente d’une période.
L’importance de ce théorème provient des deux circonstances suivantes :
1o Il est toujours facile de reconnaître sur l’équation même si l’intégrale générale n’a d’autre singularité que des pôles ;
2o Toute fonction doublement périodique de deuxième espèce s’exprime simplement à l’aide des fonctions de Jacobi ou des fonctions de M. Weierstrass.
M. Gyldén a eu l’idée ingénieuse d’appliquer ce théorème à l’intégration de l’équation (1). Mais il serait injuste de présenter les choses sous cette forme sans citer le nom de M. Hermite. Ce que M. Gyldén a appliqué en réalité, c’est un théorème de M. Hermite sur l’équation de Lamé, qui n’est à la vérité qu’un cas particulier de celui de M. Picard, mais qui lui est notablement antérieur.
Notre équation (1) peut s’écrire
(2) |
en posant
Considérons la fonction