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CHAPITRE XVII.

Or nous aurons

$x_{1}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},$

d’où cette conclusion :

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$ est une fonction périodique de période $\pi$ tant par rapport à $y_{1}$ que par rapport à $y_{2}$ et son développement contient, comme on le verra en appliquant la méthode du n^o 125, des termes en $\cos(2my_{1}+2ny_{2}),$ où $m$ et $n$ peuvent prendre toutes les valeurs entières possibles. Mais la fonction inverse

${\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},$

qui est aussi périodique en $y_{1}$ et $y_{2},$ ne pourra contenir que des termes en

$\cos 2ny_{2}\quad$ ou $\quad \cos(2y_{1}+2ny_{2}),$

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$ étant évidemment une fonction paire tant par rapport à $y_{1}$ que par rapport à $y_{2}.$

Si nous posons

$u={\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},$

l’équation (2) nous donne

$q\,{\frac {du}{dy_{1}}}+{\frac {du}{dy_{2}}}=\mu \left({\frac {du}{dy_{1}}}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}-2u\sin y_{1}\cos y_{1}\cos 2y_{2}\right).$

Les procédés du n^o 125 sont applicables à cette équation bien qu’elle ne contienne pas seulement les dérivées de $u,$ mais la fonction $u$ elle-même.

On trouve

$u=u_{0}+\mu \,u_{1}+\mu ^{2}u_{2}+\ldots \,;$

$u_{0}$ est une constante, et il est aisé de vérifier que $u_{1},$ $u_{2},\,\ldots$ sont bien de la forme indiquée, c’est-à-dire que

$u_{i}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}^{i}\cos 2ny_{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}^{i}\cos(2y_{1}+2ny_{2}).$

Il est aisé de former des relations de récurrence qui permettent