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CHAPITRE XVII.
suivant les puissances croissantes de
et que le rayon de convergence
de ce développement sera le module du point singulier
le plus rapproché, et les points singuliers seront les points des
courbes
et
qui correspondent à la valeur de
considérée.
Il reste à trouver les coefficients du développement. Supposons
le problème résolu et soit
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n+h-q)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d20a9dfd8341bcd1d889a01c8e32a4a169e9ac1)
ou en développant suivant les puissances de
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n)t-t{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)\sin(q+2n)t\\[0.5ex]&-{\frac {t^{2}}{1.2}}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)^{2}\cos(q+2n)+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dbf76d8e0b59723480b114585eab571db7b76f)
Ce développement, qui contient les lignes trigonométriques de
multipliées par des puissances de
doit être identique
à celui que nous avons trouvé plus haut
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\mathrm {F} _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f1ebeb62b5a27d15ba8eceb163559a8c3ed522)
![{\displaystyle \mathrm {F} _{i}(t)={\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t+\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434581d5e8dc161f78d2b1a5b1aa6bc1394999dd)
Observons, en effet, que
sont développables
suivant les puissances croissantes de
En identifiant les deux développements, il vient alors
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\beta _{i.n}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9622d198ff3a6bbcee54fef5f4ef38bf4c5d5e6)
et
![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}=1-{\textstyle \sum }_{i}\,q_{1}^{i}\left({\textstyle \sum }_{n}\,\beta _{i.n}^{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1487eee08ab1117bb92cd5f65e4c79dccd947b96)
Nous avons donc le moyen de calculer les coefficients du développement.
La convergence est généralement suffisante quand
n’est pas voisin d’un nombre entier. Si
est voisin d’un entier
on peut augmenter la convergence de la manière suivante :
Comme
et
s’échangent quand on tourne autour du
point singulier le plus rapproché, les deux fonctions
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4b816a059f7ac65c7d41a86eadb94d2a5284f)
et
![{\displaystyle \quad \left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6785867a09e4311699b8d42eefc0bdc31efc0970)
restent uniformes dans le voisinage de ce point singulier, mais la
première de ces deux fonctions restera finie et la seconde pourra
devenir infinie du premier ordre, si ce point singulier appartient à