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CHAPITRE XVII.

et $\mathrm {F} (t)$ doit en être une combinaison linéaire ; cela ne peut avoir lieu que si

$\mathrm {A} _{n}=\mathrm {B} _{n}=\mathrm {C} _{n}.$

Il en résulte que

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t={\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{i(h+2n)t}-{\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{-i(h+2n)t}$

satisfera également à l’équation (1) et, par conséquent, que

$f(t)={\frac {{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t}{{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)}}\cdot$

Il est clair que $\mathrm {A} _{n}$ est une fonction de $q$ et de $q_{1},$ mais ce n’est plus une fonction entière de ces deux variables comme l’était $\cos h\pi .$ Ce n’est même pas une fonction uniforme. Il est évident que les seuls points singuliers de cette fonction sont les points des courbes

$\cos h\pi =\pm 1,$

pour lesquels les fonctions $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ cessent de pouvoir être mises sous la forme que nous venons de leur donner.

Comment se comporte la fonction $\mathrm {A} _{n}$ dans le voisinage d’un de ces points singuliers ?

Supposons que le point $(q,q_{1})$ se rapproche indéfiniment d’un point M appartenant à la courbe

$\mathrm {F} '(\pi )=0,$

et que $h$ tende vers une valeur entière $p\,;$ alors, à la limite, $\mathrm {F} (t)$ est encore périodique. Posons, pour abréger,

$\mathrm {B} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n),$

il viendra, en réunissant dans $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ les termes en $(h+2n)t$ et en $(h-2n-2p)t,$

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t+\mathrm {A} _{-n-p}\cos(h-2n-2p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t\,+\mathrm {A} _{-n-p}\sin(h-2n-2p)t\right].\end{aligned}}$

Si nous faisons alors

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {C} ,&\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {D} \,;\end{aligned}}$