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CHAPITRE XVII.

d’où

$\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left(-t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left({\frac {\pi }{2}}-t\right)$

La fonction $\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)$ est donc paire et périodique de période $\pi .$ Si donc on change $q_{1}$ en $-q_{1},$ $\mathrm {F} (t)$ se change en $\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)$ qui est encore paire et périodique. Si donc le point $(q,\,q_{1})$ appartient à la courbe (α), il en est de même du point $(q,\,-q_{1}).$ La courbe (α) est donc symétrique par rapport à l’axe des $q.$

La courbe $\mathrm {C}$ étant symétrique dans son ensemble et se composant de (α) et de (β), nous devons conclure (ce qu’il serait d’ailleurs aisé de vérifier) que la courbe (β) est également symétrique par rapport à l’axe des $q.$

On doit conclure que les deux courbes (α) et (β) ne peuvent avoir au point

$q=2n,\quad q_{1}=0.$

qu’un contact d’ordre impair.

Considérons maintenant la courbe (γ)

$\mathrm {F} (t+\pi )=-\mathrm {F} (t).$

Il vient

$\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {F} \left(-{\frac {\pi }{2}}-t\right)=-\mathrm {F} \left({\frac {\pi }{2}}-t\right)\cdot$

La fonction $\mathrm {F} \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)$ est donc impaire et périodique. Si donc le point $(q,\,q_{1})$ appartient à (γ), le point $(q,\,-q_{1})$ appartiendra à (δ). Les deux courbes (γ) et (δ) sont donc symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe des $q.$

Il en résulte que ces deux courbes ne peuvent avoir en

$q=2n+1,\quad q_{1}=0.$

qu’un contact d’ordre pair.

Ainsi le contact des deux branches de courbes en $q=n,$ $q_{1}=0,$ est d’ordre 0 pour $n=1,$ d’ordre 1 pour $n=2\,;$ d’ordre 2 (au moins) pour $n=3\,;$ d’ordre 3 (au moins) pour $n=4\,;$ il est ensuite alternativement d’ordre pair et d’ordre impair et toujours au moins d’ordre 2.