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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Il y a donc quatre courbes analytiquement distinctes :

(α) 	$\mathrm {F} (\pi )=1,$	$\mathrm {F} '(\pi )=0;$	$\mathrm {F} (t+\pi )=\mathrm {F} (t).$
(β) 	$\mathrm {F} (\pi )=1,$	$\;f\,(\pi )=0;$	$f\,(t+\pi )=f(t).$
(γ) 	$\mathrm {F} (\pi )=-1,$	$\mathrm {F} '(\pi )=0;$	$\mathrm {F} (t+\pi )=-\mathrm {F} (t).$
(δ) 	$\mathrm {F} (\pi )=-1,$	$\;f\,(\pi )=0;$	$f\,(t+\pi )=-f(t).$

La courbe $\mathrm {C}$ est alors formée de l’ensemble des deux courbes (α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en

$q=2n,\quad q_{1}=0,$

et c’est pour cette raison que ce point est un point double de $\mathrm {C} \,;$ mais les deux branches de $\mathrm {C}$ qui passent en ce point, appartenant ainsi à deux courbes analytiquement distinctes, ne peuvent être que réelles.

Il y a exception pour l’origine

$q=0,\quad q_{1}=0\,;$

ce point est un point double de (α), mais n’appartient pas à (β) ; d’après ce que nous venons de dire, le raisonnement qui précède ne s’applique donc pas et nous avons vu d’ailleurs que les deux branches de courbe sont alors imaginaires.

De même, la courbe $\mathrm {C} '$ est formée de l’ensemble des deux courbes (α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en

$q=2n+1,\quad q_{1}=0.$

Les deux branches de $\mathrm {C} '$ qui passent par ce point appartiennent à deux courbes analytiquement distinctes et sont par conséquent réelles.

Nous avons vu plus haut que changer $q_{1}$ en $-q_{1},$ c’est la même chose que de changer $t$ en $t+{\frac {\pi }{2}}\cdot$

Considérons d’abord la courbe (α)

$\mathrm {F} (t+\pi )=\mathrm {F} (t).$

On a

$\mathrm {F} (t)=\mathrm {F} (-t),$