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CHAPITRE XVII.

On peut arriver au même résultat de la façon suivante ; on a identiquement

$\mathrm {F} (t)\,f'(t)-\mathrm {F} '(t)\,f(t)=1.$

Si alors

$\mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\pm 1,$

il viendra

$\mathrm {F} '(\pi )\,f(\pi )=0.$

Donc l’une au moins des deux quantités $\mathrm {F} '(\pi )$ et $f(\pi )$ est nulle.

De même, si

$\mathrm {F} '(\pi )=0\quad$ ou $\quad f(\pi )=0,$

on aura

$\mathrm {F} (\pi )\,f'(\pi )=1$

et puisque

$\mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi ,$

il viendra

$\cos h\pi =\pm 1.$

Les différents points des deux courbes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ appartiennent donc aux deux courbes

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0,\end{aligned}}$

et réciproquement.

Remarquons d’abord que $\mathrm {F} '(\pi )$ et $f(\pi )$ sont des fonctions entières de $q$ et de $q_{1}.$ Pour $q_{1}=0,$ ces fonctions se réduisent à

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=-q\sin q\pi ,&f(\pi )&={\frac {\sin q\pi }{q}}\cdot \end{aligned}}$

Donc, si $q$ passe par une valeur entière différente de 0, $\mathrm {F} '(\pi )$ et $f(\pi )$ s’annulent en changeant de signe, et ces valeurs de $q$ sont pour ces deux fonctions des zéros simples. Il en résulte que les points

$q=n,\quad q_{1}=0\quad$ ($n$ entier, $\;n\gtrless 0$),

qui sont des points doubles, tantôt pour $\mathrm {C} ,$ tantôt pour $\mathrm {C} ',$ sont des points simples pour chacune des deux courbes

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0.\end{aligned}}$

Si $q$ passe par 0, $\mathrm {F} '(\pi )$ s’annule sans changer de signe (zéro double) et $f(\pi )$ ne s’annule pas ; l’origine est donc un point double pour $\mathrm {F} '(\pi )=0,$ mais $f(\pi )$ ne s’annule pas à l’origine.