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CHAPITRE XVII.
Le coefficient de est, comme nous l’avons vu,
ou
selon que ou
Le coefficient de s’obtiendra en prenant les dérivées de
par rapport à et en y faisant On trouve ainsi
Pour que les branches de courbe soient réelles (en supposant
), il faut et il suffit que la forme quadratique
soit indéfinie. Il ne peut y avoir doute que si cette forme se réduit
à un carré parfait ; or c’est précisément ce qui arrive ; nous voyons
ainsi que nos deux branches de courbe sont non seulement tangentes,
mais osculatrices l’une à l’autre ; mais nous serions obligés,
pour reconnaître si elles sont réelles, de calculer les termes d’ordre
supérieur, si nous n’avions heureusement un moyen indirect de
décider la question, moyen que j’exposerai plus loin.
Dans le cas de notre forme quadratique devient
et est indéfinie ; les deux branches de courbe sont certainement réelles.
Construisons maintenant la courbe dont l’équation est
Le premier membre s’annule pour
(
entier impair),