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CHAPITRE XVII.

Le coefficient de $q_{1}^{4}$ est, comme nous l’avons vu,

${\frac {+\pi ^{2}}{512.q^{2}(1-q^{2})^{2}}}\quad$ ou $\quad {\frac {-5\pi ^{2}}{73728}},$

selon que $|n|>1$ ou $=1.$

Le coefficient de $(q-2n)q_{1}^{2}$ s’obtiendra en prenant les dérivées de

${\frac {\pi \sin q\pi }{16\,q\,(1-q^{2})}},$

par rapport à $q$ et en y faisant $q=2n.$ On trouve ainsi

${\frac {\pi ^{2}}{16\,q\,(1-q^{2})}}\cdot$

Pour que les branches de courbe soient réelles (en supposant $|n|>1$), il faut et il suffit que la forme quadratique

${\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {xy}{16\,q\,(1-q^{2})}}+{\frac {y^{2}}{512.q^{2}(1-q^{2})^{2}}}$

soit indéfinie. Il ne peut y avoir doute que si cette forme se réduit à un carré parfait ; or c’est précisément ce qui arrive ; nous voyons ainsi que nos deux branches de courbe sont non seulement tangentes, mais osculatrices l’une à l’autre ; mais nous serions obligés, pour reconnaître si elles sont réelles, de calculer les termes d’ordre supérieur, si nous n’avions heureusement un moyen indirect de décider la question, moyen que j’exposerai plus loin.

Dans le cas de $|n|=1,\,|q|=2,$ notre forme quadratique devient

${\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {xy}{96}}-{\frac {5q^{2}}{73728}}$

et est indéfinie ; les deux branches de courbe sont certainement réelles.

Construisons maintenant la courbe $\mathrm {C} '$ dont l’équation est

$-1-\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-\ldots =0.$

Le premier membre s’annule pour

$q=n,\quad q_{1}=0,\quad$ ($n$ entier impair),