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CHAPITRE XVII.

On voit d’ailleurs que $\alpha _{2}$ est égal ${\frac {1}{8(q^{2}-1)}}\cdot$ La loi est manifeste, on a

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{i}(t)=&{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t\\&+t^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos(q+2n)t+\ldots +t^{k}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t.\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {F} _{i}(t)$ devant être paire, le coefficient de $t^{k}$

${\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t$

ne contiendra que des sinus si $k$ est impair et des cosinus si $k$ est pair.

Quelles sont maintenant les valeurs que peut prendre l’entier $n$ ?

Dans le premier terme

${\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right],$

$n$ variera de $-2i$ à $+2i\,;$ dans le coefficient de $t,$ $n$ pourra varier de $-2(i-2)$ à $+2(i-2)\,;$ dans le coefficient de $t^{2},$ $n$ pourra varier de $-2(i-4)$ à $+2(i-4)\,;$ et ainsi de suite, de sorte que $k$ ne pourra surpasser ${\frac {i}{2}}\cdot$

On peut trouver à l’aide des équations (5) des relations de récurrence entre les coefficients $\beta _{i.n}^{k}\,;$ je ne m’y arrêterai pas pour le moment.

Lorsqu’on fera $t=\pi ,$ on aura

$\cos(q+2n)\pi -\cos q\pi =0$

et le premier terme de $\mathrm {F} _{i}(t)$ disparaîtra ; de sorte que

$\mathrm {F} _{i}(\pi )=\pi {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin q\pi +\pi ^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos q\pi +\ldots$

Nous savons d’ailleurs que $F_{i}(\pi )$ sera nul si $i$ est impair, puisque nous savons d’avance que le développement de $\mathrm {F} (\pi )$ ne doit contenir que des puissances paires de $q_{1}.$

C’est ainsi que M. Tisserand calcule $\mathrm {F} (\pi )$ et, par conséquent, $\cos h\pi .$ Il trouve ainsi

${\begin{aligned}\cos h\pi &=\cos q\pi {\bigg [}1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}\\&+\sin q\pi {\bigg [}-{\frac {\pi }{16q(1-q^{2})}}q_{1}^{2}+{\frac {(15q^{4}-35q^{2}+8)\pi }{1024q^{3}(1-q^{2})^{3}(2^{2}-q^{2})}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}.\end{aligned}}$